OMCB004

Online Math Contest

2024-04-06

대회 링크
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004

A

문제

실수 \(A, R, S, T\)가 다음의 등식을 만족합니다:

\[\begin{cases}S + T + A + R + T = 90 \\ S + T + A + R + S = 30 \\ S + T + R = 21 \\ T + A + S = 12 \end{cases}\]

이 때, \(A + R + S + T\)의 값을 구하세요.

해설

구하려는 \(A + R + S + T\)는

\[(S + T + A + R + T) + (S + T + A + R + S) - (S + T + R) - (T + A + S)\]

와 같으므로, \(87\)입니다.

B

문제

양수인 약수를 딱 \(7\)개 가지는 십진법 표기로 \(3\)자리 이하인 양의 정수의 총합을 구하세요.

해설

\(2\)이상의 양의 정수가 \(n = p_1^{a_1} … p_k^{a_k}\)로 소인수분해 될 떄, 양수인 약수를 \((a_1 + 1) … (a_k + 1)\)개 가집니다. \(7\)개는 소수이므로, \(k = 1, a_1 = 6\)인 경우에만 해당합니다.
즉 어떤 소수 \(p\)에 대해 \(p^6\)으로 나타낼 수 있습니다.
이것이 \(3\)자리 이하인 경우는 \(p = 2, 3\)일 때의 경우로, 구하는 총합은 \(64 + 729 = 793\)입니다.

C

문제

한 변의 길이가 \(10\)인 정삼각형 \(ABC\)에 대해, 변 \(BC, CA, AB\) 위에 각각 점 \(\P, Q, R)을 잡았을 때 \(PQ = QR = RP = 8\)이 되었습니다. 이 때 삼각형 \(AQR\)의 넓이의 제곱을 구하세요.

해설

\(S(\triangle{XYZ})\)로 \(\triangle{ABC}\)의 면적을 나타내겠습니다.
조건에 의해 \(\triangle{PQR}\)은 정삼각형이며, 간단한 각도 계산에 의해 \(\triangle{AQR} \equiv \triangle{BRP} \equiv \triangle{CPQ}\)임을 알 수 있습니다.
이와 함께 \(S(\triangle{ABC}) = 25 \sqrt{3}\, S(\triangle{PQR}) = 16 \sqrt{3}\) 인 것으로부터,

\[S(\triangle{AQR}) = \frac{S(\triangle{AQR}) + S(\triangle{BRP}) + S(\triangle{CPQ})}{3} = \frac{S(\triangle{ABC}) - S(\triangle{PQR})}{3} = 3 \sqrt{3}\]

인 것으로부터, 답은 \(27\)입니다.

D

문제

\(3\)이상의 정수 \(n\)에 대해, 정 \(n\)각형의 내각의 합이 (도수법으로) \(a\)도, 대각선의 개수가 \(b\)개일 때, 다음 부등식이 성립했습니다.

\[a \geq 20(b + 1)\]

이러한 \(n\)의 총합을 구하세요.

해설

\(a = 180n - 360, b = n(n - 3) / 2\)인 것으로부터, 조건은 다음의 식과 동치입니다.

\[n^2 - 21n + 38 \leq 0\]

\(n \geq 3\)임에 주의해서 부등식을 풀면, \(n = 3, 4, …, 19\)이므로, 구하는 총합은 \(187\)입니다.

E

문제

[J], [M], [X] 만으로 이루어진 \(7\)자 길이의 어떤 문자열(사용하지 않는 문자가 있어도 됩니다.) 중 다음의 조건을 만족하는 것은 몇 개 입니까?

• 어떤 연속하는 \(4\)문자를 골라도, 그 중 딱 \(2\)문자가 [X]이다.

예를 들어, [JMXXJMX]는 위의 조건을 만족합니다.

해설

맨 처음 \(4\)문자 중의 [X]의 위치에 따라, 그 다음의 [X]의 배치가 결정되는 점에 유의하면, [X]의 위치는 \(\_4C_2 = 6\)개로 한정됩니다: [XX–XX-], [X-X-X-X], [-XX–XX]. [X–XX–], [-X-X-X-], [–XX–X].
따라서, 구하는 답은 \(2^3 \times 3 + 2^4 \times 3 = 72\).

F

문제

\(2244!\)가 \(n^500\)으로 나누어떨어질 때, 양의 정수 \(n\)으로써 가능한 값의 총합을 구하세요.

해설

르장드르의 정리에 의해, \(2244!\)를 소인수분해하면,

\[2244! = 2^{2240} \times 3^{1120} \times 5^{557} \times 7^{371} \times …\]

이 되므로, 조건을 만족하는 \(n\)은

\[n = 2^a \times 3^b \times 5 ^c\ (0 \leq a \leq 4, 0 \leq b \leq 2, 0 \leq c \leq 1)\]

으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 구하려는 총합은

\[(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) \times (1 + 3 + 3^2) \times (1 + 5) = 2418\].

G

문제

수열 \(\{a_n\}\)을 다음과 같이 정하겠습니다.

\[a_n = \sum_{k =1}^n{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}\]

이 때, \(a_{n + 1} = a_n + 3\)이 되는 \(5000\)이하의 가장 큰 양의 정수 \(n\)을 구하세요.

해설

곡선 \(n = xy\)와 그 바로 아래에 있는 격자점들의 집합 \(S\)에 대해서 생각해봅시다.
\(x = k\ (1 \leq k \leq n)\)을 고정했을 때, \(S\)의 원소는 \(\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor\)개 만큼 있습니다. 따라서, \(S\)의 원수의 개수는 \(\sum_{k = 1}^n{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}\)과 같습니다.

한편 \(s\)의 원소의 수는 \(xy = k\ (1 \leq k \leq n)\)을 고정하는 것으로도 셀 수 있습니다.
양의 정수 \(k\)의 양의 약수의 개수를 \(d_k\)라고 나타내면, \(S\)의 원소의 수는 \(\sum_{k = 1}^n{d_k}\)개 있습니다. 따라서 다음이 성립합니다.

\[a_n = \sum_{k = 1}^n{d_k}\]

따라서 \(a_{n + 1} = a_n + 3\)은 \(d_{n + 1} = 3\)인 것과 동치이며, 이는 더욱이 \(n + 1\)이 소수의 제곱인 경우와 동치입니다. 따라서 구하려는 최댓값은 \(67^2 - 1 = 4488\)입니다.

H

문제

예각삼각형 \(ABC\)의 외심, 수심을 각각 \(O, H\)라 하고, 직선 \(AO\)와 변 \(BC\)의 교점을 \(D\)라 할 때, 다음이 성립했습니다.

\[BD = 100, CD = 123, \angle{AHO} = 90^{\circ}\]

이 때, \(AO^2\)의 값을 구하세요.

해설

선분 \(BC\)의 중점을 \(M\), 삼각형 \(ABC\)의 무게중심을 \(G\)라 합시다.
\(G, H, O\)가 한 직선 위에 있다는 것을 생각하면, \(AH \Vert MO\)이므로, 삼각형 \(AGH\)와 \(MGO\)는 닮은꼴입니다.
따라서, \(AH : MO = AG : GM = 2 : 1\)입니다.
또, 삼각형 \(AHO\)와 \(OMD\)가 닮은꼴인 것으로부터, \(DO = \frac{1}{2} AO\)입니다.
따라서, \(D\)에 대해 \(O\)와 대칭인 점을 \(D’\)라고 하면, \(OO’ = 2DO = AO\)인 것으로부터 \(O’\)는 삼각형 \(ABC\)의 외접원 위에 존재하게 되므로, 방벽 정리에 의해

\[\frac{1}{2}AO \times \left ( \frac{1}{2}AO + AO\right ) = DO’ \times AD = BD \times CD = 100 \times 123\]

이므로, \(AO^2 = 16400\)입니다.

A ~ F 6솔

이번엔 조금 늦게 참가하긴 했지만, 그래도 좀 알 것 같은 앞 6문제에 대해서는 답을 맞췄다.
근데도 잘하는 사람들이 위에 몇 백 명 있는 무서운 대회.

아무래도 전공이 아니다보니 부족한건 어쩔 수 없지만 꽤나 재미있다.