OMCB008

2024-05-05

대회 링크
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008

A

문제

이 문제에서는 \(1, 6, 9\)를 \(180^{\circ}\) 회전시키면 각각 \(1, 9 6\)과 일치하는 것으로 간주합니다.
이 때, \(1, 1, 6, 9\)를 회전하지 않고 나열해서 얻을 수 있는 ㅑㅣ 4자리 정수의 개수를 구하세요.

해설

회전시키는 것을 생각하지 않고 생각하면, 나열하는 방법은 \(4! / 2 = 12\)개가 있습니다. 여기서,

\[(1169, 6911), (1196, 9611), (1619, 6191), (1916, 9161)\]

의 \(4\)개가 회전했을 떄 일치하므로, 답은 \(\frac{4!}{2} - 4 = 8\)개 입니다.

B

문제

다음의 조건 모두를 만족하는 양의 정수 \(x, y, z\)의 조합이 단 \(1\)개 있습니다. 이 조합에 대해 \(100x + 10y + z\)의 값을 구하세요.

\(x + y + z = 10\)
\(x < y < z\)
가위바위보를 할 때, 각각 \(10x\)%, \(10y\)%, \(10z\)%의 확률로 바위, 가위, 보를 내는 \(A, B\)가 \(1\)번 가위바위보를 해서 비기지 않고 \(A\)가 \(B\)를 이길 확률은 \(23\)%

해설

\(A\)가 이길 확률과 질 확률은 같으므로, 비길 확률은 \(54%\)입니다.
이 확률은 \((x^2 + y^2 + z^2)\)%로 나타낼 수 있으므로, \(x + y + z = 10\)이면서 \(x^2 + y^2 + z^2 = 54\)인 것을 찾으면 됩니다.
이는 \((1, 2, 7)\)이 유일하므로, 답은 \(127\)입니다.

C

문제

\(\sqrt{\sqrt{n + 4} - \sqrt{n}}\)의 값이 \(0.1\) 이하가 되는 양의 정수 \(n\)의 최솟값을 구하세요.

해설

\(0.1 = a\)라 두고 문제의 조건을 변형시켜 보면,

\[\begin{align} \sqrt{\sqrt{n + 4} - \sqrt{n}} \leq a & \Longleftrightarrow \sqrt{n + 4} \leq \sqrt{n} + a^2 \nonumber \\ & \Longleftrightarrow 4 \leq 2a^2\sqrt{n} + a^4 \nonumber \\ & \Longleftrightarrow n \geq \left( \frac{4 - a^4}{2a^2} \right)^2 = \frac{4}{a^4} - 2 + \frac{a^4}{4} \end{align}\]

따라서 \(n\)의 최솟값은 \(\frac{4}{a^4} - 1 = 39999\).

D

문제

다음의 조건을 모두 만족하는 \(3\)자리 양의 정수 \(n\)의 총합을 구하세요.

각 자리 수의 합이 \(18\)
양의 약수를 정확히 \(10\)개 가진다.

해설

각 자리의 합이 \(18\)이므로 \(n\)은 \(9\)의 배수이며, 양의 약수가 \(10\)개이므로, \(n\)을 \(3\)으로 나눌 수 있는 횟수는 \(4\)번 또는 \(9\)번이 됩니다.
여기서 \(3^9 = 19683 \geq 10^3\)이므로, \(n\)은 \(3\)이 아닌 소수 \(p\)를 이용해 \(n = 3^4 \times p\)의 꼴로 나타낼 수 있습니다.
\(n\)은 3자리 정수이므로, \(p = 2, 5, 7, 11\) 중에서 \(n\)의 각 자리 수의 합이 \(18\)이 되는 경우는 \(n = 567, 891\)일 때 입니다.
따라서 답은 \(567 + 891 = 1458\).

E

문제

\(\angel{C}\)가 예각인 삼각형 \(ABC\)에 대해서, 점 \(A\)를 변 \(BC\)에 대해 대칭이동한 점을 \(D\), 점 \(B\)를 변 \(CD\)에 대해 대칭이동한 점을 \(E\)라고 했을 때,
점 \(A, C, E\)는 같은 직선 위에 있으며, 변 \(AE\)의 길이는 \(12\)가 되었습니다.
사각형 \(ABDE\)의 넓이가 \(7
sqrt{3}\)일 때, 선분 \(BD\)의 길이의 제곱을 구하세요.

해설

삼각형 \(ABC, DBC, DEC\)는 합동이므로,

\[\angle{ACB} = \angle{DCB} = \angle{DCE} = 50^{\circ}\]

\[AE = AC + CE = CD + BC= 12\]

\[\vert \square{ABDE} \vert = 3\vert \triangle{BCD} \vert\]

가 성립합니다. 따라서, \(BC = a, CD = b\)라 두면, 다음이 성립합니다.

\[a + b = 12\]

\[3 \times \frac{\sqrt{3}}{4}ab = 7\sqrt{3}\]

이상으로부터, 여현 정리를 이용해 \(BD^2\)의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\[BD^2 = a^2 + b^2 - ab = (a + b)^2 -3ab = 12^2 - 28 = 116\]

F

문제

변 \(AD\)와 \(BC\)가 평행한 사다리꼴 \(ABCD\)가 다음을 만족합니다.

\[AB = BC = CD = 7, DA = 9\]

삼각형 \(ABC\)의 수심을 \(H\)라 할 때, 삼각형 \(ADH\)와 사다리꼴 \(ABCD\)의 비는 서로소인 두 양의 정수 \(a, b\)를 이용해 \(a : b\)로 나타낼 수 있습니다.
\(a + b\)의 값을 구하세요.

해설

직선 \(AH\)와 \(BC\)의 교점을 \(E\)라고 하고, 직선 \(BH\)와 \(AD\)의 교점을 \(F\)라고 합시다.
사다리꼴 \(ABCD\)는 등각사다리꼴이므로, \(BE = \frac{AD - BC}{2} = 1\)입니다.
또한 \(AB = AC\)에 의해 직선 \(BH\)는 선분 \(AC\)의 수직이등분선이므로, \(AF = CF\)가 성립합니다.
또한, 직선 \(AF\)와 \(BC\)는 평행하므로, 사각형 \(ABCF\)는 마름모꼴이 되며, \(AF = 7\) 입니다. 따라서,

\[AH : EH = AF : EB = 7 : 1\]

이 됩니다. 이상으로부터,

\[\frac{\vert ADH \vert}{\vert ABCD \vert} = \frac{AD \times AH / 2}{(AD + BC) \times AE / 2} = \frac{9 \times 7}{(7 + 9) \times (7 - 1)} = \frac{21}{32}\]

이르모, 구하는 답은 \(53\)입니다.

G

문제

하나코는 다음의 게임을 하기로 했습니다.

먼저, 안이 보이지 않는 상자에 빨간색 공을 3개 넣는다.
\(1\) 이상 \(100\) 이하의 서로 다른 정수가 \(1\)개씩 쓰여진 \(100\)장의 카드로부터, 무작위로 \(1\)장을 골라 거기 적힌 수 만큼 하얀 공을 상자에 넣는다.
고른 카드에 적힌 수 만큼 상자에서 \(1\)개씩 하나코가 상자에 되돌리지 않고 무작위로 공을 꺼낸다.
도중에 빨간색 공을 뽑는다면 하나코의 패배이며, 한 번도 빨간색 공을 뽑지 않는다면 하나코의 승리이다.

하나코가 이 게임에서 이길 확률은 서로소인 두 양의 정수 \(a, b\)를 이용해 \(\frac{a}{b}\)로 나타낼 수 있습니다.
\(a + b\)의 값을 구하세요.

해설

정수 \(k\ (1 \leq k \leq 100)\) 를 뽑을 확률은 \(\frac{1}{100}\), 정수 \(k\)를 뽑았을 때 이길 확률은 \(k + 3\)개의 공들 중에서 \(k\)개를 뽑는 방법들 중 \(k\)개의 하얀색 공 중에서 \(k\)개를 뽑는 확률이기 때문에,

\[\frac{_kC_k}{}_{k + 3}C_k = \frac{1}{_{k + 3}C_k} = \frac{1}{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}\]

입니다. 따라서 구하는 확률은

\[\begin{align} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{100} \frac{1}{(k + 1)(k + 2)(k + 3)} & = \frac{3}{100} \sum_{k = 1}^{100} \left( \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} - \frac{1}{(k + 2)(k + 3)} \right) \nonumber \\ &= \frac{3}{100}\left( \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{102 \times 103} \right) \nonumber \\ & = \frac{35}{7004} \end{align}\]

따라서 구하는 답은 \(35 + 7004 = 7039\).

H

문제

\(2\) 이상의 정수 \(n\)에 대해,

\[\frac{n^n + 1000n^2 - 2001n + 1000}{(n - 1)^3}\]

이 정수인 것의 총합을 구하세요.

해설

\(n - 1= m\)이라 두면, 이항 정리에 의해

\[\begin{align} n^n & = (m + 1)^{m + 1} = m^{m + 1} + _{m + 1}C_1m^m + … + _{m + 1}C_{m - 1}m^2 + _{m + 1}C_mm + 1 \nonumber \\ & \equiv \frac{(m + 1)m^3}{2} + (m + 1)m + 1\ (\mathrm{mod}\ m^3) \nonumber \\ & = \frac{n}{2}(n - 1)^3 + n^2 - n + 1\ (\mathrm{mod}\ (n - 1)^3)\end{align}\]

이 됩니다. 따라서 주어진 식이 정수가 되는 경우는

\[\frac{n}{2} + \frac{n^2 - n + 1 + 1000n^2 - 2001n + 1000}{(n - 1)^3} = \frac{n}{2} + \frac{1001}{n - 1}\]

이 정수가 되는 경우입니다.

\(n\)이 짝수일 때, \(n - 1\)이 \(1001 = 7 \times 11 \times 13\)의 양의 약수가 되면 되므로, 조건을 만족하는 \(n\)의 총합은

\[(7 + 1)(11 + 1)(13 + 1) + 8 = 1352\]

n이 홀수일 때, \(n - 1\)이 \(1001\)의 양의 약수의 \(2\)배가 되면 되므로, 조건을 만족하는 \(n\)의 총합은

\[2(7 + 1)(11 + 1)(13 + 1) + 8 = 2696\]

따라서 구하는 답은 \(1352 + 2696 = 4048\)입니다.

기하 어렵다

PS를 할 때도 그랬지만, 기하는 정말 어려운 것 같다…
E, F 연속 기하 2연타를 맞고 못 풀거 같아서 도망쳤다.

더 열심히 해야 하는 모양이다.

« PREV