OMC213 E - F
Online Math Contest
2024-03-16
대회 링크
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213
E
문제
\(\angle A = 60^{\circ}\)을 만족하는 삼각형 \(ABC\)의 내부에 점 \(P\)를 잡았을 때,
\[BP + CP = AC, AB = CP\]
가 성립했습니다. 삼각형 \(ABC\)의 넓이가 \(4017\), 삼각형 \(PBC\)의 넓이가 \(1989\)일 때, \(CP\)의 길이의 \(4\)제곱을 구하세요.
해설
변 \(AC\) 위에 \(AB = AQ\)를 만족하는 점 \(Q\)를 잡아봅시다.
이 때, 삼각형 \(ABQ\)는 정삼각형이므로,
\[QB = AB = PC, QC = AC - AB = AC - PC = PB\]
가 각각 성립합니다.
따라서 삼각형 \(PBC\)와 삼각형 \(QCB\)는 합동이므로,
\[\triangle{ABQ} = \triangle{ABC} - \triangle{QCB} = \triangle{ABC} - \triangle{PBC} = 2028\]
입니다.
한편,
\[\triangle{ABQ} = \frac{1}{2} BQ^2 \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt 3}{4}CP^2\]
이므로 \(\frac{\sqrt 3}{4}CP^2 = 2028\). 따라서 \(CP^4 = 21934848\)입니다.
F
문제
\(a_1 = 3334, a_{n + 1} = 3a_n^2 - 4a_n + 2\ (n \geq 1)\)로 정의되는 수열 \(\{a_n\}\)에 대해, \(a_{3334}\)는 양의 정수가 됩니다.
이 때, \(a_{3334}\)의 각 자릿수의 합 \(M\)을 소수 \(3331\)로 나눈 나머지를 구하세요.
해설
\(a_{n + 1} = 3a_n^2 - 4a_n + 2\ (n \geq 1)\)을 변형하면, \(3a_{n + 1} - 2 = (3a_n - 2)^2\)가 되므로, 다음의 식이 성립합니다.
\[3a_{3334} - 2 = (3a_1 - 2)^{2^{3333}} = 10000^{2^{3333}} = 10^{2^{3335}}\]
따라서
\[a_{3334} = \frac{10^{2^{3335}} + 2}{3}\]
이 되며, 이는 제일 높은 자리부터 \(2^{3335} - 1\)개 만큼 \(3\)이 등장하고, 남은 1자리만 \(4\)인 양의 정수입니다.
따라서
\[M = 3 \times (2^{3335} - 1) + 4 = 3 \times 2^{3335} + 1\]
임을 알 수 있습니다.
이는 페르마의 소정리를 이용해
\[M = 3 \times 2^5 + 1 = 97\ (\mathrm{mod}\ 3331)\]
로 계산할 수 있습니다.
G
문제
두 개의 원 \(\Gamma_1, \Gamma_2\)가 있고, \(\Gamma_1\)은 \(\Gamma_2\)와 점 \(X\)에서 내접하고 있습니다.
또한, \(\Gamma_1\) 위의 \(X\)가 아닌 점 \(Y\)에서, \(\Gamma_1\)의 점 \(Y\)에 대한 접선과 \(\Gamma_2\)가 서로 다른 두 점 \(P, Q\)에서 만났습니다.
\[XP = 20, XQ = 23\]
이 성립하고, \(\Gamma_1\)의 반지름과 \(\Gamma_2\)의 반지름의 비가 \(4 : 9\)일 때, 선분 \(XY\)의 길이의 제곱을 구하세요.
단, 구하려는 값은 서로소인 두 양의 정수 \(a, b\)를 이용해 \(\frac{a}{b}\)로 나타내어지므로, \(a + b\)의 값을 제출해주세요.
해설
보제: 직선 \(XY\)는 \(\angle{PXQ}\)의 이등분선이다.
증명: \(\Gamma_1, \Gamma_2\)의 중심을 각각 \(O_1, O_2\)라고 합시다.
이 때, \(X\)를 중심으로 \(\Gamma_1\)을 \(\Gamma_2\)로 옮겨 확대하면 \(Y\)는 \(R\)이, \(O_1\)은 \(O_2\)로 각각 옮겨집니다.
특히 직선 \(YO_1\)과 \(RO_2\)는 평행하게 되며, \(YO_1\)과 \(PQ\)가 수직인 것으로부터, \(RO_2\)는 \(PQ\)에 수직이 됩니다.
이로 인해 \(PR = QR\)이 성립하므로, \(\angle{PXY} = \angle{QXY}\)임을 보였습니다.
보제로부터, \(PX : QY = 20 : 23\)이 되므로, \(PY = 20x, QY = 23x\)라 둡시다.
여기서, \(XY : YR = 4 : 5\)인 것으로부터, 방멱 정리에 의해
\[XY \times YR = PY \times QY = 460x^2\]
가 성립하는 동시에, \(XY^2 = 368x^2\)임을 알 수 있습니다.
또한 스튜어트 정리에 의해
\[XY^2 = XP \times XQ - PY \times QY = 460 - 460x^2\]
이 성립하므로, 이를 이용해 \(x^2 = \frac{5}{9}\)임을 구할 수 있습니다.
따라서, \(XY^2 = \frac{1840}{9}\)이므로 구하는 답은 \(1849\)입니다.
H
문제
방향을 고정한 \(333\)각형의 각각의 정점을 빨강, 파랑, 초록의 세 가지 색 중 하나를 골라 칠하고, 칠한 방법에 따라 다음과 같이 점수를 매깁니다:
- 정 \(333\)각형의 변 중 양 끝의 정점의 색이 같은 것의 수
회전해서 같아지는 색칠 방법을 별개의 것으로 보는 \(3^{333}\)개의 모든 경우에 대해서, 각각의 점수의 제곱의 (산술)평균을 구하세요.
해설
일반적으로 정 \(N\)각형(\(N\)은 \(3\)이상의 정수)에 대해 생각해봅시다.
정 \(N\)각형의 정점을 순서대로 \(A_1, A_2, .., A_N\)이라고 두고, 정점 \(A_N\) 다음엔 정점 \(A_1\)이 온다고 생각합시다. 또한, 정점 \(A_i\)에 칠해진 색은 \(C_I\)라고 합시다.
다음과 같이 점수의 제곱의 총합을 구해봅시다. 여기서,
\[\begin{align}(점수의\ 제곱) & = (C_i = C_{i + 1}인\ i의\ 개수)^2 \nonumber\ & = (C_i = C_{i + 1}인\ i의\ 개수) \times (C_j = C_{j + 1}인\ j의\ 개수)\nonumber\end{align}\]
인 것에 의해, 두 개의 번으로 구성된 쌍 각각이 관여하는 정도에 대해 생각하면 됩니다.
1) \(i = j\)일 때
\(i = j\)를 고르는 방법은 \(N\)개, \(C_i = C_{i + 1}\)을 고르는 방법은 \(3\)개, 다른 색을 고르는 방법은 \(3^{N - 2}\)개 있으므로,
\[N \times 3 \times 3^{N - 2} = 3N \times 3^{N - 2}\]
2) \(\vert i - j \vert = 1\)일 때
\(i, j\)를 고르는 방법은 \(2N\)개, \(C_{\min(i,j)} = C_{\min(i,j) + 1} = C_{\min(i,j) + 2}\)을 고르는 방법은 \(3\)개, 다른 색을 고르는 방법은 \(3^{N - 3}\)개 있으므로,
\[2N \times 3 \times 3^{N - 3} = 2N \times 3^{N - 2}\]
3) \(\vert i - j \vert \geq 2\)일 때
\(i, j\)를 고르는 방법은 \(N(N - 3)\)개, \(C_i = C_{i + 1}, C_j = C_{j + 1}\)을 고르는 방법은 \(3^2\)개, 다른 색을 고르는 방법은 \(3^{N - 4}\)개 있으므로,
\[N(N - 3) \times 3^2 \times 3^{N - 4} = N(N - 3) \times 3^{N - 2}\]
1, 2, 3에 의해 점수의 제곱의 합은
\[3N \times 3^{N - 2} + 2N \times 3^{N - 2} + N(N - 3) \times 3^{N - 2} = N(N + 2) \times 3^{N - 2}\]
따라서, 평균은 \(\frac{N(N + 2)}{9}\)가 되며, \(N = 333\)일 때 \(12395\)가 됩니다.