OMC214

2024-03-20

대회 링크
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214

A

문제

평면 위에 정사각형이 있고, 꼭짓점과 함께 각 변을 5등분하는 점들을 합쳐 20개의 점들을 재밌는 점이라고 부르겠습니다.
정확히 2개의 재밌는 점을 지나는 평면 위의 직선은 몇 개 있을까요?

해설

\(3\)개 이상의 재밌는 점들이 일직선상에 있을 때, 이 직선은 정사각형의 변 중 하나를 연장한 것과 일치합니다.
따라서, 재밌는 점들 중 \(2\)가지를 고르는 \(_{20}C_2 = 190\)개의 경우 중에서 정사각형의 같은 변 위에 있는 \(2\)개의 점을 지나는 경우인 \(4 \times _6C_2 = 60\)개를 빤 \(130\)개는 정확히 \(2\)개의 재밌는 점을 지나는 서로 다른 직선의 수와 대응합니다.
따라서 구하는 답은 \(130\)입니다.

B

문제

수평면과 그것에 대해 기울어진 평면이 있습니다. 이 평면의 서쪽 방향으로의 기울기는 \(- \frac{1}{3}\), 남쪽 방향으로의 기울기는 \(- \frac{1}{4}\)입니다.
이 떄, 이 평면의 임의의 방향에 대해서의 기울기가 실수 \(s\)이하라고 하면, \(s\)의 최솟값을 서로소인 두 양의 정수 \(a, b\)를 이용홰 \(\frac{a}{b}\)와 같이 나타낼 수 있습니다.
\(a + b\)를 구하세요.

여기서 수평면에서의 어떤 방향에 대한 기울기라 함은, 그 방향에서 수평으로 \(1\)만큼 나아갔을 때의 높이의 변화를 가리킵니다.

해설

이 평면은 \(A(0, 0, 0,), X(3, 0, 1), Y(0, 4, 1)\)을 지나는 평면으로 봐도 무방합니다. 또한, 공간 안의 점 \(P\)를 \(xy\)평면 위에 직교 투영한 점을 \(P’\)라고 합시다.
직선 \(XY\)위의 임의의 점 \(P\)에 대해, \(PP’ = 1\)이라고 하면 \(AP\)방향의 기울기는 \(\frac{1}{AP’}\)가 됩니다. 또한, \(P\)를 임의로 움직이면 \(P’\)는 직선 \(X’Y’\)위를 움직이게 되므로, 구하는 답은 \(A\)와 \(X’Y’\)의 거리의 역수가 됩니다.
직선 \(X’Y’\)는 \(4x + 3y -12 = 0\)으로 나타낼 수 있으므로,

\[s = \frac{\sqrt{4^2 + 3^2}}{\vert 4 \times 0 + 3 \times 0 - 12 \vert} = \frac{5}{12}\]

가 됩니다. 따라서 구하는 답은 \(17\)입니다.

C

문제

\(1\)부터 \(9\)까지의 정수를 \(1\)개씩 원형으로 나열하는 방법 중에서, 이웃한 어떤 \(2\)개의 수도 서로소가 되도록 하는 방법은 몇 개나 있을까요? 단, 회전해서 일치하는 경우는 같은 것으로 처리하며, 뒤집어서 일치하는 것은 다른 것으로 처리합니다.

해설

\(1\)부터 \(9\)까지의 정수를 다음과 같이 분류합시다. 같은 그룹에 속하는 것은 묶어서 생각하면 됩니다:

\[A: \{1, 5, 7\}, B: \{2, 4, 8\}, C: \{3, 9\}, D: \{6\}\]

이렇게 분류했을 때, 이웃해서는 안 되는 수인 경우는 \(BB, CC, BC, DC, DD\)일 때 입니다. 특히, \(D\)의 양 옆은 \(A\)여야만 합니다.
\((A, D, A)\)를 고정했을 때, 남은 \(A, B, B, C, C\)를 나열하는 방법은 다음과 같은 \(10\)개가 있습니다.

\((B, C, B, C, B)\)의 임의의 자리에(양 끝을 포함하는) \(A\)를 삽입하는 경우 6개
\((B, A, B, C, B, C), (B, C, B, A, B, C), (C, B, A, B, C, B), (C, B, C, B, A, B)\)

\(D\)의 위치를 고정하고, 각 그룹에 대한 수의 분배를 생각해보면, 구하는 답은 \(10 \times 3! \times 3! \times 2! \times 1! = 720\)개가 됩니다.

D

문제

실수 \(a, b, c, d, e\)가 다음의 식을 만족할 때, \(e\)를 구하세요.

\[\begin{cases} 9^4a + 11 ^4b + 19^4c + 21^4d = -1 + e \\ 19^4a + 21^4b + 39^4c + 41^4d = -1 \\ 29^4a + 31^4b + 59^4c + 61^4d = -1 \\ 39^4a + 41^b + 79^4c + 81^4d = -1 \\ 49^4a + 51^4b + 99^4c + 101^4d = -1\end{cases}\]

단, \(e\)는 서로소인 두 양의 정수 \(p, q\)를 이용해 \(e = \frac{p}{q}\)로 나타낼 수 있습니다.
\(p + q\)를 제출해 주세요.

해설

\(f(x) = x^4 + a(x - 1)^4 + b(x + 1)^4 + c(x - 2)^4 + d(x + 2)^4\)라고 두면 문제에 제시된 아래쪽 \(4\)개의 식으로부터

\[f\left(\frac{1}{20}\right) = f\left(\frac{1}{30}\right) = f\left(\frac{1}{40}\right) = f\left(\frac{1}{50}\right) = 0\]

입니다. \(f(x)\)는 \(4\)차식이므로, 어떤 실수 \(r\)에 대해 다음의 항등식이 성립합니다.

\[f(x) = r\left(x - \frac{1}{20}\right)\left(x - \frac{1}{30}\right)\left(x - \frac{1}{40}\right)\left(x - \frac{1}{50}\right)\]

양변의 \(4\)차항의 계수, \(2\)차항의 계수, 정수항을 비교해 다음 3개의 식을 얻을 수 있습니다.

\[\begin{cases} 1 + (a + b) + (c + d) = r \\ 6(a + b) + 24(c + d) = \frac{71r}{12 \times 10^3} \\ (a + b) + 16(c + d) = \frac{r}{12 \times 10^5} \end{cases}\]

이를 풀면 \(r = \frac{288 \times 10^5}{288 \times 10^5 - 355 \times 10^2 + 6}\)이 됩니다. 따라서,

\[e = 10^4f\left(\frac{1}{10}\right) = \frac{2880000}{14382253}\]

입니다. 따라서 구하는 답은 \(17262253\)입니다.

E

문제

\(1\)이상 \(5000\)이하의 정수 중 \(1\)개가 쓰인 \(1 \times 2\)의 타일이 \(5000\)개 있고, 어떤 \(2\)개의 타일에도 같은 수가 쓰여있지 않습니다.
이 타일들을 겹치거나 하지 않고 \(100 \tiems 100\)칸을 빈틈없이 모두 채운다고 할 떄, 다음 조건을 만족했습니다.

\(1\)이상 \(4999\)이하의 임의의 정수 \(k\)에 대해, \(k\)가 쓰인 타일과 \(k + 1\)이 쓰인 타일은 길이 \(1\)이상의 선분을 공유하며 이웃한다.

또한, 위에서 \(a\)행쨰, 왼쪽에서 \(b\)열째의 칸을 덮는 타일에 쓰인 수를 \(N_{a, b}\)라고 합시다. 이 때,

\[N_{1, 51} + N_{2, 50} + N_{3, 31} + N_{4, 50} + … + N_{99, 51} + N_{100, 50}\]

으로 가능한 최댓값을 구하세요.

해설

\(n\)을 임의의 양의 정수라 두고 \(100\)을 \(2n\)이라고 바꿔서 생각해봅시다.
위에서 \(a\)행째, 왼쪽에서 \(b\)열째의 칸을 \((a, b)\)라 합시다. 또,

\[(1, n + 1), (2, n), (3, n + 1), (4, n), …, (2n - 1, n + 1), (2n, n)\]

을 [중앙의 칸]이라 하며, 중앙의 칸으로부터 왼쪽에 있는 칸을 간단히 [왼쪽의 칸], 중앙의 칸으로부터 오른쪽에 있는 칸을 간단히 [오른쪽의 칸]이라고 합시다. 또, \(a + b\)가 짝수라면 il \((a, b)를\) 흰색으로 칠하고, 홀수라면 검은색으로 칠합니다.

왼쪽의 칸들 중 \((1, nj)\)과 같은 색의 칸은 \(n^2\)개, 다른 색의 칸은 \(n^2 - n\)개 있습니다. 어떤 타일도 검은 칸과 흰 칸을 하나씩 덮는 것으로부터, 왼쪽 칸들만 덮고있는 타일은 많아야 \(n^2 - n\)개입니다. 마찬가지로, 오른쪽 칸을 덮는 타일도 많아야 \(n^2 - n\)개입니다.
거기에, 왼쪽 칸과 오른쪽 칸을 동시에 덮는 타일은 존재하지 않으므로, 중앙의 칸이면서 \(n^2 - n + 1\)이하인 정수가 쓰인 타일에 덮인 칸이 존재합니다. 따라서,

\[N_{1, n + 1} + N_{2, n} + … + N_{2n - 1, n + 1}, N_{2n, n} \leq n^2 - n + 1 + \sum_{k = 0}^{2n - 2}(2n^2 - k) = n(4n^2 - 3n + 2)\]

입니다.

등식이 성립하는 타일의 배치가 존재하므로, \(n = 50\)인 경우에 구하는 답은 \(492600\)입니다.

F

문제

반지름이 \(169\)인 원에 내접하는 삼각형 \(ABC\)에 대해, 변 \(AB, AC\) 위에 각각 점 \(D, E\)가 있으며, 삼각형 \(ABC, ADE\) 각각의 외접원의 점 \(A\)가 아닌 교점을 \(F\)라 할 때, 다음이 성립했습니다:

\[DF = EF = 130, DE = 100\]

여기에, 선분 \(BE\)와 선분 \(CD\)는 점 \(X\)에서 직교했습니다. 선분 \(BC, DE\)의 중점을 각각 \(M, N\)이라 했을 때, 서로소인 두 양의 정수 \(a, b\)를 이용해 \(\cos\angle{MXN} = -\frac{a}{b}\)로 나타낼 수 있습니다. 이 때 \(a + b\)의 값을 구하세요.

해설

\(F\)는 사각형 \(BCED\)에 대한 미켈 점인 것으로부터, 삼각형 \(FBC\)와 \(FDE\), 삼각형 \(FBD\)와 \(FCE\)와 \(FMN\)은 닮음입니다.
\(DF = EF\)인 것으로부터, 삼각형 \(FBD\)와 \(FCE\)는 합동이며, 삼각형 \(FBC\)는 이등변삼각형입니다. 따라서 \(BD = CE\)이며, 이 길이를 \(x\)라 두면 \(BE \perp CD\)인 것으로부터 다음이 성립합니다.

\[2x^2 = BD^2 + CE^2 = BC^2 + DE^2\]

또,

\[BD : MN = DF : FN = 13 : 12\]

입니다. 거기에, 삼각형 \(ABC\)의 외심을 \(O\), 선분 \(BF\)의 중점을 \(K\)라 두면, 삼각형 \(FOK\)와 \(FBM\)은 닮음이므로,

\[BC = 2BM = 2 \times KO \times \frac{BF}{FO} = 4 \times \frac{5}{13} FO \times \frac{FK}{FO} = \frac{240}{169} FO = 240\]

인 것으로부터, 코사인 법칙(여현정리)에 의해 다음과 같이 답을 구할 수 있습니다.

\[\begin{align} \cos \angle{MXN} & = \frac{XM^2 + XN^2 - MN^2}{2 \times XM \times XN} \nonumber\\ & = \frac{BC^2 + DE^2 - 4 \times \left(\frac{12}{13}x\right)^2}{2 \times BC \times DE} \nonumber\\ & = -\left(2 \times \left(\frac{12}{13}\right)^2 - 1 \right) \times \frac{BC^2 + DE^2}{2 \times BC \times DE} \nonumber\\ & = -\frac{119}{120} \nonumber \end{align}\]

따라서 구하는 답은 \(239\)입니다.

A, C는 풀었다

역시 수학은 그렇게 자신있는 분야는 아니라, 이번엔 A와 C 두 문제를 푸는 것에 그쳤다.
B 같은 경우 조금 더 생각했으면 풀었을 수도 있겠지만, 시간 내엔 무리였다.

더 실력을 쌓아야지.

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