OMC220


Online Math Contest

2024-05-30

대회 링크
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220

A

문제

정삼각형 \(ABC\)에 대해 내부에 점 \(P\)를 잡으면

\[\angle{BAP} = 12^{\circ}, \angle{ABP} = 30^{\circ}\]

이 성립했습니다. \(\angle{APC}\)의 크기를 도수법으로 구하세요.

해설

\[\angle{APC} = \angle{PBC} = 30^{\circ}, AB = BC\]

가 성립하므로, 삼각형 \(BPA\)와 \(BPC\)는 합동입니다. 따라서,

\[\angle{APC} = 2(180^{\circ} - \angle{APB}) = 2(180^{\circ} - (180^{\circ} - 12^{\circ} - 30^{\circ})) = 84^{\circ}\]

입니다.

B

문제

\(10^6\)미만의 양의 정수 중에서 십진법 표기로 각 자릿수의 합이 \(6\)이하인 것들 전체의 합을 구하세요.

해설

\(10^6\)의 자리를 적절히 채우는 것으로 이 문제는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

다음으로, 자릿수의 합이 \(6\)이하인 \(7\)자리 이하의 양의 정수는 \(6\)개의 공을 구별 되어 있는 \(7\)개의 상자에 넣는 경우의 수와 대응하므로,(빈 상자를 허용해서) 그 수는 \(_{12}C_6\)개입니다.

이 \(_{12}C_6\)개 수의 각 자릿수의 총합은 \(_{12}C_6 \times 6\)이고, 각 자릿수마다 총합에 기여하는 정도는 같으므로, 어떤 자릿수를 봤을 때 총합은 \(_{12}C_6 \times 6 / 7\)이 됩니다. 따라서, 구하는 답은

\[\frac{_{12}C_6 \times 6}{7} \times (10^5 + 10^4 + … +10^0) = 87999912\]

C

문제

\(M = \{1, 2, …, 99\}\)라 할 때, \(f : M \rightarrow M\)이 임의의 \(M\)의 원소 \(x\)에 대해

\[f(x) \neq x, f(f(f(x))) = x\]

를 만족하는 것의 개수를 \(N\)이라 합시다. \(N\)이 \(2\)로 나누어 떨어지는 최대 횟수를 구하세요.

해설

\(M\)의 각 원소들을 정점으로 가지는 그래프를 생각하되, 임의의 \(M\)의 원소 \(x\)에 대해 \(x\)에서 \(f(x)\)로 유향 간선이 있는 것으로 생각해봅시다.

보제. \(f\)가 조건을 만족한다는 것은, 각 정점이 정점 3개로 구성된 사이클에 포함됨과 동치이다.

증명. 먼저 필요성을 보이겠습니다. \(f\)가 조건을 만족할 때, \(f\)는 전사이며 \(M\)은 유한집합이기에, 각 정점은 사이클에 포함이 됩니다. 다음으로, \(f(f(f(x))) = x\)에 의해 각 사이클의 정점 수는 \(3\)의 약수지만, 임의의 \(M\)의 원소 \(x\)에 대해 \(f(x) \neq x\)이므로 어떤 사이클의 정점 수도 \(1\)이 될 수 없으므로, 모든 사이클에서의 정점 수는 \(3\)임을 보였습니다.
다음으로 충분성을 보이겠습니다. 임의의 \(M\)의 원소 \(x\)는 정점 수 \(3\)의 사이클에 포함되므로, \(f(x) \neq x\)이며, \(f(f(f(x))) = x\)입니다. 따라서 증명되었습니다.

보제에 의해 \(N\)은 \(M\)을 \(3\)개의 원소로만 구성된 \(33\)개의 그룹 안에서 \(2\)가지의 방향을 취하는 경우의 수와 같습니다.

이런 방법은 \(\frac{99!2^{33}}{33!(3!)^{33}}\)개 있으며, 이것이 \(2\)로 나누어 떨어지는 횟수는 르장드르의 정리에 의해 \(64\)회 입니다.

D

문제

다음 값을 구하세요.

\[\sum_{k = 1}^{10000} \left(\left\lfloor \frac{k^2}{10000} \right\rfloor + \left\lfloor 100\sqrt{k} \right\rfloor\right)\]

해설

\(n = 100\)이라 두고,

\[S_1 = \sum_{k = 1}^{n^2}\left\lfloor \frac{k^2}{n^2}\right\rfloor, S_2 = \sum_{k = 1}^{n^2} \left\lfloor n\sqrt{k} \right\rfloor\]

라 둡시다. 이 때, \(S_1\)은 \(1 \leq x \leq n^2\)의 영역 내에 \(y = \frac{x^2}{n^2}\)와 \(x\)축으로 둘러쌓인 격자점의 수와 동일하고, \(S_2\)는 (1 \leq x \leq n^2\)의 영역 내에 \(y = n\sqrt{x}\)와 \(x\)축으로 둘러쌓인 격자점의 수와 동일합니다.(각각 \(x\)축 위의 점들은 제외하고 그 외의 경계 위의 점들을 포함합니다.)

여기서 \(y = \frac{x^2}{n^2}\)와 \(y = n\sqrt{x}\)는 직선 \(y = x\)에 대해 대칭이므로, \(S_1 + S_2\)는 \(1 \leq x, y \leq n^2\) 의 영역 내의 격자점의 수와 \(y = n\sqrt{x}\)위의 격자점의 합과 같습니다.

따라서 구하는 답은 \(n^4 + n = 100000100\)입니다.

E

문제

삼각형 \(ABC\)의 수심을 \(H\), \(C\)에서 변 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(f\)라 합시다. 변 \(BC\)위에 \(\angle{AHF} = \angle {XHF}\)를 만족하는 어떤 점 \(X\)가

\[BX = 2, FX = 22 , HX = 23\]

을 만족할 때, \(AH\)의 길이는 서로소인 두 양의 정수 \(a, b\)를 이용해 \(\frac{a}{b}\)로 나타낼 수 있습니다.

\(a + b\)의 값을 구하세요.

해설

직선 \(HX\)와 \(AB\)의 교점을 \(Y\)라고 하고, 선분 \(CY\)의 중점을 \(M\), \(M\)에 대해 \(X\)와 대칭인 점을 \(Z\)라 합시다. 이 때,

\[\angle{XHC} = \angle{AHC} = 180^{\circ} - \angle{ABC} = \angle{YBC}\]

에 의해, \(H, B, Y, C\)는 같은 원 위에 있으며, 따라서 삼각형 \(FHB\)와 \(FYC\)는 닮음입니다. 또한, 삼각형 \(XHB, XCY, ZYC\)는 모두 닮음이므로, 사각형 \(FHXB\)와 \(FYZC\)또한 닮음입니다. 따라서, \(FZ = 22x, CZ = 2x, YZ = 23x\)라 두면,

\[FX^2 + FZ^2 = 2(FM^2 + MZ^2) = 2(CM^2 + MZ^2) = ZC^2 + ZY^2\]

이 성립합니다. 따라서 \(x = \frac{22}{7}\)입니다. 또한 \(XY = ZC = 2x\)이며, \(\angle{HYB} = \angle{HVB} = \angle{HAB}\)에 의해 \(HA = HY = 23 + 2x = \frac{205}{7}\)입니다. 따라서 구하는 답은 \(212\).

F

문제

\(2 \times 1468\)칸의 격자판이 있습니다. 이 때, 다음 조건을 만족하도록 \(1, 2, 3, 4\)의 정수를 써 넣는 방법은 몇 가지 입니까?

해설

격자판의 정점 중에서 위에서 \(m\)번쨰, 왼쪽에서 \(n\)번째인 것을 \((n, m)\)이라 나타냅시다. \(1, 4\)가 쓰인 칸은 붉게, \(2, 3\)이 쓰인 칸은 푸르게 칠하고, 다른 색의 경계에 선분을 잇습니다. 이 때, 주어진 조건에 의해 인접한 두 칸에 쓰인 정수의 합은 색이 같은 경우 \(5\)이며, 다른 경우 \(5\)가 아닙니다.

칠하는 법(절선을 잇는 법)은 다음의 2가지로 나눌 수 있습니다.

따라서 조건을 만족하는 정수를 써 넣는 방법은 \(17345776\)가지 입니다.

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